Il movimento nella storia e il movimento di Achille e la tartaruga

Uno dei paradossi più famosi sull’infinito è quello attribuito a Zenone di Elea e riguarda la rincorsa infinita del piè veloce Achille dietro la lenta tartaruga.

Una celebre spiegazione porta la firma dello scrittore argentino Jorge Luis Borges, che nel brano La perpetua corsa di Achille e della tartaruga, (in Opere, I, a cura di D. Porzio, Mondadori, Milano 1984) scrive:

«Achille, simbolo di rapidità, deve raggiungere la tartaruga, simbolo di lentezza. Achille corre dieci volte più svelto della tartaruga e le concede dieci metri di vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga percorre un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un millimetro; Achille percorre quel millimetro, la tartaruga percorre un decimo di millimetro, e così via all’infinito; di modo che Achille può correre per sempre senza raggiungerla».

Stupisce di più trovare un riferimento al paradosso in un celebre romanzo storico, Guerra e pace, pubblicato per la prima volta tra il 1865 ed il 1869 sulla rivista Russkij Vestnik, tra le cui pagine, mentre ci troviamo immersi nella storia delle due famiglie, i Bolkonskij e i Rostov, durante la campagna napoleonica in Russia del 1812, Lev Tolstòj scrive:

«Per la mente umana è inconcepibile un’assoluta continuità del moto. L’uomo riesce a comprendere le leggi d'un qualsiasi moto soltanto se prende in considerazione, di tale moto, singoli momenti, scelti arbitrariamente. Ma al contempo, è precisamente da questa arbitraria suddivisione d'un moto continuo in unità discontinue, che proviene la maggior parte degli errori umani.
È ben noto quel cosiddetto sofisma degli antichi, secondo il quale Achille non raggiungerà mai la tartaruga incamminatasi prima di lui, benché Achille vada dieci volte più veloce della tartaruga; quando Achille avrà superato lo spazio che lo separa dalla tartaruga, la tartaruga avrà superato Achille d'un decimo di quello spazio; Achille percorrerà quel decimo, e la tartaruga lo supererà d'una centesima parte di quello spazio inizlae, e così via, all'infinito. Questo problema appariva insolubile agli antichi. L’insensatezza della conclusione (che Achille non raggiungerà mai la tartaruga) derivava soltanto dal fatto che si fosse ammessa, arbitrariamente, l'esistenza di unità discontinue del moto, mentre sia il moto di Achille sia quello della tartaruga erano ininterrotti.
Se prendiamo in considerazione unità di moto via via minori, non facciamo che avvicinarci alla soluzione del problema, ma senza mai raggiungerla. Giungiamo alla soluzione del problema soltanto se ammettiamo una grandezza infinitamente piccola e una sua progressione ascendente fino alla deicma potenza, e se facciamo la somma di questa progressione geometrica. La nuova branca della matematica che ha scoperto il modo di trattare le grandezze infinitamente piccole ci permette oggi di trovare risposte a problemi che parevano insolubili, anche in altre e più complesse questioni riguardanti il moto.

Poiché questa nuova branca dellla matematica, ignota agli antichi, nell'affrontare i problemi del moto prende in considerazione grandezze infinitamente piccole, tali cioè da ristabilire la condizione fondamentale del moto stesso (la sua assoluta continuità), essa ci permette di correggere quell'inevitabile errore che la mente umana non può non commettere, quando invece del moto continuo prende in considerazione singole unità di esso.

Esattamente la stessa cosa avviene anhe nella ricerca delle leggi del moto della storia.

Il moto dell'umanità, essendo il prodotto di un'infinita quantità di liberi arbitrii individuali, ha il carattere della continuità.

La scoperta delle leggi di questo moto è il fine della storia. Per scoprire le leggi del moto continuo ch'è dato dalla somma di tutti i liberi arbitri degli individui, la mente umana ammette l'esistenza di unità disocntinue di tale moto, scelete arbitrariamente.» (Lev Tolstòj, Guerra e pace, Mondadori 2015, pp. 1279-1280)

La faccenda di Achille e la Tartaruga viene affrontata anche da Carlo Emilio Gadda, uno dei massimi innovatori della narrativa novecentesca. E tra le sue fusioni di lingua nazionale, forme dialettali e gergo, leggiamo:

«La cheli, estromesso il capo, annaspava un’idea: commise con il Piè Veloce che lo avrebbe superato nella corsa, quando bastavale alcuna precedenza alle mosse. Disse il Tachipo: “di buona misura, affè di Giove!: prenditi una parasanga in avanti”. “Che sì, che sì”, fece la scudata nonna: e biasciando non si sa che liquerizia codeste befane le le suggano, l’andava rivolgendo guancia scarna di là, poi di qua, non sopravvenissero e’ micidî, come son ghespe o lambruzze: finchè la si risolvette al cammino, da dover consumare quella anticipata parasanga. E poi di molto arrancare delle quattro spatole, con chel crostone del clipeo così rappreso in sulla sua testudinata pertinacia, alfine la vi pervenne.
Dal buon centauro, allora, sendogli in nell’antra mano la clepsidra, si abbassò la bandierola scarlatta: “Addio Chirone!”: “addio ragazzo!” Ed eccolo a perdifiato lasciare dietro di sè le pianure come liberata saetta: che davano scàlpito gli quattro zoccoli, al savio, con gran fersate di sua coda: e ne venía scintille dalle selci quasi da solicitata focaia.
Tre diti in nella superna fiala non avea scemato la polvere, e ‘l Tachipo aveva fatto il vantaggio. Ma la tortuca, in fra tanto, avacciò di chel vantaggio un millesimo.
Achille fece il millesimo. Ma la Tortuca, in fra tanto, avacciò un millesimo di chel millesimo.
Mai dunque potè chiapparla: e ancor oggi e’ fuggano.» (Carlo Emilio Gadda, Il primo libro delle Favole, a cura di C. Vela, Mondadori, Milano 1990)

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